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Projetos Integradores – Matemática e suas Tecnologias

Projetos Integradores – Matemática e suas Tecnologias

SEQUÊNCIA DIDÁTICA 9: A RELAÇÃO DA MATEMÁTICA COM A ARQUITETURA

            Atenção Professor! Essa proposta foi pensada de modo a atender ao ensino remoto de emergência, todos os seus procedimentos e etapas possuem indicações de como adaptá-la ao ambiente virtual.

Etapa de ensino

Médio, com foco no 3º ano

Tempo estimado

5 a 6 aulas

Objetivos

  • Reconhecer a importância da matemática para o desenvolvimento de projetos arquitetônicos;
  • Compreender o significado do número de ouro e as suas contribuições para a arquitetura;
  • Despertar o interesse pela arquitetura utilizando conceitos de matemática capazes de desenvolver a imaginação e a criatividade.

Componentes curriculares contemplados

  • Matemática: Equação do 2º grau; Razão e proporção;Número de ouro;Sequência de Fibonacci;
  • Arquitetura: Estética; Desenho geométrico.

Competências e habilidades desenvolvidas (BNCC)

  • Competências Gerais: 1, 2 e 5;
  • Competências Específicas: 1, 2 e 3;
  • Habilidades: EM13MAT105; EM13MAT201; EM13MAT314.

Introdução

            A arquitetura, desde o seu surgimento, está relacionada com a matemática. Os arquitetos usam a geometria, as transformações isométricas e homotéticas, e padrões matemáticos,que são aplicados desde o momento do planejamento até a execução do projeto. Dessa forma, a matemática torna-se indispensável para definir a forma espacial do projeto a ser desenvolvido,para criar formas consideradas harmoniosas,como também, para potencializar a modelagem computacional e, assim, atingir os objetivos desejados.

            Um desses padrões da matemática, extensivamente aplicados na arquitetura, é o “número de ouro”, (1 + √5)/2 (aproximadamente igual a 1,61803),também conhecido como “proporção áurea”, por ser obtido pela proporção (a + b)/a = a/b. Trata-se de um número irracional, cuja representação é a vigésima primeira letra do alfabeto grego, 𝛗 (fi), em alusão ao nome de Fídias, escultor e arquiteto encarregado da construção do Templo de Partenon, na Grécia Antiga.

            O número de ouro está presente em diversas manifestações na natureza, seja através de proporções específicas nos seres humanos, galhos de árvores, ou até mesmo na Via Láctea, onde as estrelas e os planetas se distribuem em uma espiral logarítmica, na qual o número de ouro também está presente.

            A proporção áurea se encontra na sequência de números de Fibonacci,constatada pelos Pitagóricos na construção da estrela pentagonal e utilizada também em algumas obras de Leonardo Da Vinci. Isto posto, a proporção áurea é considerada uma espiral perfeita, tão agradável aos olhos, que passou a ser amplamente utilizada na arte, no design e na arquitetura.

            Sob tal ótica, esta proposta de sequência didática, baseada na pedagogia de projetos, tem por objetivo destacar a relevância da matemática para a arquitetura e apresentar como o número de ouro contribuiu com resultados fascinantes de projetos arquitetônicos.

Procedimentos metodológicos

Etapa 1

– Inicie a aula perguntando aos alunos sobre o número de ouro: O que é? Qual o seu valor? E de onde surgiu? Promova um debate com a turma e, após as discussões, utilize desenho geométrico para construir um retângulo áureo;

– Solicite que eles tracem numa folha de papel um quadrado ABCD com as medidas dos lados que desejarem, utilizando régua e esquadro. Alerte para que as medidas escolhidas não sejam “pequenas” nem “grandes” demais; aproximadamente entre 5 e 15 centímetros;

– Peça para que eles escolham dois lados opostos quaisquer e tracem, suavemente, a sua mediatriz, marcando os pontos de interseção E e F;

– Oriente os alunos a inserir a ponta seca do compasso no ponto E e abri-lo até o vértice C. Desenhe, suavemente, o arco que vai de C à reta suporte do lado que contém E, marcando sobre essa reta o ponto G;

– De semelhante modo, oriente os alunos a inserira ponta seca do compasso no ponto F e abri-lo até o vértice B. Desenhe, suavemente, o arco que vai de B à reta suporte do lado que contém F, marcando sobre essa reta o ponto H;

– Peça para os alunos traçarem o retângulo cujos vértices estão localizados nos pontos A, G, H e D, e informe que se trata do retângulo áureo; no ambiente virtual, você pode utilizar como recurso a imagem disponível em: <https://i.ibb.co/cXdLVm9/img1.png>.

Etapa 2

– Fazendo uso do retângulo áureo, esboçado na etapa anterior, destaque o quadrado ABCD e informe aos alunos que o retângulo maior AGHD é semelhante ao retângulo menor BGHC, isto é, os seus lados são proporcionais (por se tratarem de retângulos, fica subtendido que os ângulos internos são congruentes, iguais a 90°);

– Solicite aos alunos o cálculo da razão cujo antecedente seja a medida do maior lado do retângulo maior e o consequente, a medida do maior lado do retângulo menor;

– Analogamente, peça para que eles também calculem a razão da medida do menor lado do retângulo maior para a medida do menor lado do retângulo menor. Para tanto, eles podem utilizar régua e calculadora (podendo ser do celular); no ambiente virtual, você pode utilizar como recurso a imagem disponível em: <https://i.ibb.co/LYCdSvR/img2.png>.

– Sugira que eles repitam este processo com os demais retângulos semelhantes. Os alunos verificarão que, independente das medidas dos seus retângulos, em todasas razões, os resultados obtidos serão exatamente iguais ao número de ouro 1,61803;

No ambiente virtual, conclua esta etapa manipulando a atividade Segmento áureo X retângulo áureo seguindo as instruções contidas na plataforma GeoGebra, disponível no endereço:<https://www.geogebra.org/m/NTD5m6tB>.

Etapa 3

Apresente aos alunos o famoso problema do crescimento de uma população de coelhos, constatado pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci;

– Pergunte aos alunos: Quantos coelhos haverá no final de 6 meses? E após 1 ano? Motive-os a construírem uma árvore genealógica que represente os dados deste problema;

– Evidencie a Sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) associando-a à solução da problemática apresentada; destaque a relação entre os números desta sequência (cada número, a partir do terceiro, é sempre igual à soma dos dois anteriores);

– Peça aos alunos que dividam um termo dessa sequência pelo seu antecessor; eles perceberão que os resultados obtidos se aproximarão, cada vez mais, do número de ouro 1,61803;

– Inquiete os alunos para que eles deduzam uma fórmula que relacione os termos da Sequência de Fibonacci. Com essa investigação, espera-se chegar na expressão an = an – 1 + an – 2, para todo n maior ou igual a3;

No ambiente virtual, utilize algum software de planilha eletrônica (como o Planilhas Google ou o Microsoft Excel) e solicite aos alunos a construção da Sequência de Fibonacci até o 23º termo, por exemplo. Para tal, sugira que eles criem na primeira coluna, onde ficarão os números da sequência, uma fórmula que some os dois primeiros termos; e, na segunda coluna, correspondente a cada termo, eles devem criar outra fórmula que divida um termo da sequência pelo seu antecessor, conforme mostra a imagem disponível em:

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000000837/md.0000015211.jpg>.

Etapa 4

– Levando em consideração os conhecimentos construídos nas etapas anteriores, esta etapa é destinada à investigação da proporção áurea em construções arquitetônicas;

– Peça para os alunos realizarem uma pesquisa sobre variados estilos arquitetônicos (Clássico, Romântico, Gótico, Barroco, Moderno, Pós-moderno, etc.) e destacarem os que mais lhes chamarem atenção;

– Divida a turma em grupos, de acordo com os estilos escolhidos;

– A título de exemplo, mostre para os alunos como a proporção áurea é evidenciada em dois notáveis símbolos da arquitetura: o Templo de Partenon, localizado em Atenas, na Gréciae o Taj Mahal, situado em Agra, na Índia;

– Utilizando um software de apresentação eletrônica (como o Apresentações Google ou o Microsoft PowerPoint), os alunos devem selecionar e colar imagens das obras arquitetônicas a serem investigadas; no ambiente escolar, as imagens podem ser impressas e distribuídas entre os grupos ou ainda pode-se confeccionar um cartaz;

– Peça para os alunos investigarem, com retângulos áureos, a possível presença do número de ouro nas obras arquitetônicas selecionadas.

– Para a exposição das investigações realizadas pelos alunos, solicite que desenvolvam um mural com as imagens, de forma manual ou digital; neste segundo caso, é possível utilizar a ferramenta on-line Padlet (Link de acesso: <https://pt-br.padlet.com/>).

Materiais Necessários

Parao ambiente escolar, papel, lápis, borracha, régua, esquadro, compasso,calculadora, computador, notebook e projetor data show.

Sugestões de leitura

Retângulo áureo e divisão áurea

http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/midias_digitais_II/modulo_IV/retangulo_aureo.pdf

– Sequências de Fibonacci e a Razão Áurea

https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/21244/1/KarloSergioMedeirosLeopoldino_DISSERT.pdf

Sugestões de vídeos

– Proporção Áurea, o retângulo de ouro

Sequência de Fibonacci e Número de Ouro

Sugestões de atividade

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